무작위 숫자의 소인수 개수는 왜 정규분포를 따르는가

아무리 큰 숫자라도 소인수의 개수를 세어보면 놀랍도록 일정한 규칙이 나타납니다. 어떤 수든 소인수 개수는 무작위로 뽑아도 종 모양의 정규분포를 그린다는 것이 에르되시-카츠 정리의 핵심입니다.

수학자들은 소수가 무작위로 분포한다고 생각하지만, 실제로는 거대한 수의 소인수 개수에서 놀라운 질서가 발견됩니다. 숫자가 커질수록 소인수의 개수는 평균값 주변에 밀집하며, 이는 자연계의 수많은 현상과 같은 확률적 패턴을 보여줍니다. 마치 동전을 수천 번 던졌을 때 결과가 정규분포를 이루는 것과 비슷합니다. 수의 세계 깊은 곳에 숨겨진 이런 통계적 균형은 수학자들에게도 매우 경이로운 발견으로 통합니다.